Cho (O) với dây $\mathrm{AB}$ cố định (AB không qua $\mathrm{O}$ ). Đường kính $\mathrm{CD}$ vuông góc với $\mathrm{AB}$ tại $\mathrm{H}$ (C thuộc cung lớn $\mathrm{AB}$ ). Điểm $\mathrm{M}$ di chuyển trên cung nhỏ $\mathrm{AC}(\mathrm{M} \neq \mathrm{A}$ và $\mathrm{M} \neq \mathrm{C})$. Đường thẳng $\mathrm{CM}$ cắt đường thẳng $\mathrm{AB}$ tại $\mathrm{N}$. Nối $\mathrm{MD}$ cắt $\mathrm{AB}$ tại $\mathrm{E}$.
a) Chứng minh tứ giác CMEH nội tiếp.
b) Chứng minh $\mathrm{NM} \cdot \mathrm{NC}=$ NA.NB.
c) Lấy điểm $\mathrm{P}$ đối xứng với $\mathrm{A}$ qua $\mathrm{O}$. Gọi I là trung điểm của $\mathrm{MC}$. Kẻ $\mathrm{IK}$ vuông góc với đường thẳng $\mathrm{AM}$ tại $\mathrm{K}$. Chứng minh $\mathrm{IK} / / \mathrm{MP}$ và điểm $\mathrm{K}$ thuộc một đường tròn cố định.
Những câu hỏi liên quan
Bài 11 (trang 104 SGK Toán 9 Tập 1)
Cho đường tròn (O) đường kính $AB$, dây $CD$ không cắt đường kính $AB$. Gọi $H$ và $K$ theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ $A$ và $B$ đến $CD$. Chứng minh rằng $CH= DK$.
Gợi ý. Kẻ $OM$ vuông góc với $CD$.
Lời giải chi tiết
Vẽ OM⊥CDOM⊥CD
Vì OM là một phần đường kính và CD là dây của đường tròn nên ta có M là trung điểm CD hay MC=MDMC=MD (1) (định lý)
Tứ giác AHKBAHKB có AH⊥HK; BK⊥HK⇒HA//BKAH⊥HK; BK⊥HK⇒HA//BK.
Suy ra tứ giác AHKBAHKB là hình thang.
Xét hình thang AHKBAHKB, ta có:
OM//AH//BKOM//AH//BK (cùng vuông góc với CDCD)
mà AO=BO=AB2AO=BO=AB2
⇒MO⇒MO là đường trung bình của hình thang AHKBAHKB.
⇒MH=MK⇒MH=MK (2)
Từ (1) và (2) ⇒MH−MC=MK−MD⇔CH=DK⇒MH−MC=MK−MD⇔CH=DK (đpcm)
Nhận xét: Kết quả của bài toán trên không thay đổi nếu ta đổi chỗ hai điểm CC và DD cho nhau.
Kẻ vuông góc với dây .
Hình thang có
và
nên (1)
vuông góc với dây nên
(2)
Từ (1) và (2) suy ra .
Kẻ vuông góc với dây .
Hình thang có
và
nên (1)
vuông góc với dây nên
(2)
Từ (1) và (2) suy ra .
Xem thêm câu trả lời
C2. Xác định các chất tương ứng với các chữ cái mathrm{A}, mathrm{B}, mathrm{D}, mathrm{E}, mathrm{F}, mathrm{G}, mathrm{H}, mathrm{I}, mathrm{K}, mathrm{L} , mathrm{M}, mathrm{N}, mathrm{P}, mathrm{Q} và hoàn thành các phương trình phản ứng.(1) mathrm{FeS}_{2}+mathrm{O}_{2} rightarrow mathrm{A}+mathrm{B} uparrow (5) mathrm{H}+mathrm{M} rightarrow mathrm{N} (2) mathrm{B}+mathrm{D} rightarrow mathrm{E} downarrow+mathrm{F} (6) mathrm{N}+mathrm{I} rightarrow mathrm{P} downarrow+mathrm{L} (v...
Đọc tiếp
C2. Xác định các chất tương ứng với các chữ cái \( \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{D}, \mathrm{E}, \mathrm{F}, \mathrm{G}, \mathrm{H}, \mathrm{I}, \mathrm{K}, \mathrm{L} \), \( \mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{P}, \mathrm{Q} \) và hoàn thành các phương trình phản ứng.
(1) \( \mathrm{FeS}_{2}+\mathrm{O}_{2} \rightarrow \mathrm{A}+\mathrm{B} \uparrow \)
(5) \( \mathrm{H}+\mathrm{M} \rightarrow \mathrm{N} \)
(2) \( \mathrm{B}+\mathrm{D} \rightarrow \mathrm{E} \downarrow+\mathrm{F} \)
(6) \( \mathrm{N}+\mathrm{I} \rightarrow \mathrm{P} \downarrow+\mathrm{L} \) (vàng)
(7) \( \mathrm{P}+\mathrm{F}+\mathrm{Q} \rightarrow \mathrm{K} \)
(3) \( \mathrm{A}+\mathrm{G} \rightarrow \mathrm{H}+\mathrm{F} \)
(8) \( \mathrm{K}+\mathrm{G}+\mathrm{M} \rightarrow \mathrm{N}+\mathrm{F} \)
(4) \( \mathrm{H}+\mathrm{I} \rightarrow \mathrm{K} \downarrow+\mathrm{L} \)
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Hạ HE $\bot$ AB, HF $\bot$ AC.
a) Chứng minh $\dfrac{AF}{CH}= \dfrac{BH}{AC}$;
b) Cho BC cố định, tìm vị trí của A để diện tích hình chữ nhật AEHF lớn nhất.
Xem thêm câu trả lời
Cho tam gúac ABC. Gọi P là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Đường thẳng qua P và vuông góc với CP cắt CA, CB lần lượt tại M,N.
a/ C/m: \( \frac{\mathrm AM}{\mathrm BN } = \left(\frac{AP}{BP}\right)^2\)
b/ \(\frac{\mathrm AM}{\mathrm AC } + \frac{\mathrm BN}{\mathrm BC } +\frac{\mathrm CP^2}{\mathrm AB.AC } =1\)
Bài 10 (trang 104 SGK Toán 9 Tập 1)
Cho tam giác $ABC$, các đường cao $BD$ và $CE$. Chứng minh rằng :
a) Bốn điểm $B, E, D, C$ cùng thuộc một đường tròn.
b) $DE<BC$.
Lời giải chi tiết
a) Gọi OO là trung điểm của BC⇒OB=OC=BC2.BC⇒OB=OC=BC2. (1)
Vì DODO là đường trung tuyến của tam giác vuông DBCDBC.
Theo tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền, ta có:
OD=12BCOD=12BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra OD=OB=OC=12BCOD=OB=OC=12BC
Do đó ba điểm B, D, CB, D, C cùng thuộc đường tròn tâm OO bán kính OBOB.
Lập luận tương tự, tam giác BEC vuông tại E có EO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên OE=OB=OC=12BCOE=OB=OC=12BC
Suy ra ba điểm B, E, CB, E, C cùng thuộc đường tròn tâm OO bán kính OBOB.
Do đó 4 điểm B, C, D, EB, C, D, E cùng thuộc đường tròn (O)(O) đường kính BCBC.
b) Xét đường (O;BC2)(O;BC2), với BCBC là đường kính.
Ta có DEDE là một dây cung không đi qua tâm nên ta có BC>DEBC>DE ( vì trong một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính).
a) Gọi là trung điểm của .
Ta có .
Suy ra
do đó cùng thuộc đường tròn đường kính .
b) Trong đường tròn nói trên, là dây, là đường kính nên
a) Gọi là trung điểm của .
Ta có .
Suy ra
do đó cùng thuộc đường tròn đường kính .
b) Trong đường tròn nói trên, là dây, là đường kính nên
(chú ý : Không xảy ra trường hợp ).
Xem thêm câu trả lời
Cho hai số thực a, b thỏa mãn: $\left(a+\sqrt{a^{2}+9}\right)\left(b+\sqrt{b^{2}+9}\right)=9$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M=2 a^{4}-b^{4}+6 \mathrm{ab}+8 a^{2}-10 a-2 b+2026$.
Ta có: \(\left(a+\sqrt{a^2+9}\right)\left(b+\sqrt{b^2+9}\right)=9\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-\sqrt{a^2+9}\right)\left(a+\sqrt{a^2+9}\right)\left(b+\sqrt{b^2+9}\right)}{a-\sqrt{a^2+9}}=9\)
\(\Leftrightarrow\frac{-9\left(b+\sqrt{b^2+9}\right)}{a-\sqrt{a^2+9}}=9\)
\(\Rightarrow b+\sqrt{b^2+9}=\sqrt{a^2+9}-a\)
Tương tự chỉ ra được: \(a+\sqrt{a^2+9}=\sqrt{b^2+9}-b\)
Cộng vế 2 PT trên lại ta được:
\(a+b+\sqrt{a^2+9}+\sqrt{b^2+9}=\sqrt{a^2+9}+\sqrt{b^2+9}-a-b\)
\(\Leftrightarrow2\left(a+b\right)=0\Rightarrow a=-b\)
Thay vào M ta được:
\(M=2a^4-a^4-6a^2+8a^2-10a+2a+2026\)
\(M=a^4+2a^2-8a+2026\)
\(M=\left(a^4+2a^2-8a+5\right)+2021\)
\(M=\left[\left(a^4-a^3\right)+\left(a^3-a^2\right)+\left(3a^2-3a\right)-\left(5a-5\right)\right]+2021\)
\(M=\left(a-1\right)\left(a^3+a^2+3a-5\right)+2021\)
\(M=\left(a-1\right)^2\left(a^2+2a+5\right)+2021\)\(\ge0+2021=2021\)
Dấu "=" xảy ra khi: a = 1 => b = -1
Vậy Min(M) = 2021 khi a = 1 và b = -1
Xem thêm câu trả lời
Cho các biểu thức $\mathrm{A}=\frac{2}{\sqrt{x}+1}$ và $\mathrm{B}=\frac{1}{x+\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{\mathrm{x}}+1}$ với $\mathrm{x}>0$
a) Tính giá trị của biểu thức A khi $\mathrm{x}=81$.
b) Rút gọn biểu thức $\mathrm{P}=\mathrm{B}: \mathrm{A}$.
c) So sánh $P$ với $\frac{1}{2}$.
a, Ta có : \(x=81\Rightarrow\sqrt{x}=9\)
Thay \(\sqrt{x}=9\)vào biểu thức A ta được :
\(A=\frac{2}{9+1}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}\)
b, Ta có : \(P=\frac{B}{A}\)hay\(P=\frac{\frac{1}{x+\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}+1}}{\frac{2}{\sqrt{x}+1}}\)
\(=\frac{1+\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}.\frac{\sqrt{x}+1}{2}=\frac{\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}}\)
c, Ta có \(\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}\)mà \(\sqrt{x}< \sqrt{x}+1\)
nên \(P>\frac{1}{2}\)
a) \(A=\frac{2}{\sqrt{x}+1}=\frac{2}{\sqrt{81}+1}=\frac{2}{9+1}=\frac{1}{5}\)
b) \(B=\frac{1}{x+\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}+1}\)
\(=\frac{1+\sqrt{x}}{\left(1+\sqrt{x}\right)\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}}\)
\(\Rightarrow P=\frac{B}{A}=\frac{1}{\sqrt{x}}\div\frac{2}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}}\)
c) Ta có: \(P=\frac{\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{2}+0=\frac{1}{2}\)
=> P>1/2
Xem thêm câu trả lời
Giải chi tiết giúp e với nha
Một người đi xe máy trên một đoạn đường thẳng mathrm{AB} . Trên một phần ba đoạn đường đầu đi với , một phần ba đoạn đường tiếp theo với v_{2}36(mathrm{~km} / mathrm{h}) và một phần ba đoạn đường cuối cùng đi với v_{3}48(mathrm{~km} / mathrm{h}) . Tính v_{text {tb }} trên cả đoạn A B .
A. 35,61 mathrm{~km} / mathrm{h}
B. 36,61 mathrm{~km} / mathrm{h}
C. 34,61 mathrm{~km} / mathrm{h}
D. 31 mathrm{~km} / mathrm{h}
Đọc tiếp
Giải chi tiết giúp e với nha Một người đi xe máy trên một đoạn đường thẳng \( \mathrm{AB} \). Trên một phần ba đoạn đường đầu đi với , một phần ba đoạn đường tiếp theo với \( v_{2}=36(\mathrm{~km} / \mathrm{h}) \) và một phần ba đoạn đường cuối cùng đi với \( v_{3}=48(\mathrm{~km} / \mathrm{h}) \). Tính \( v_{\text {tb }} \) trên cả đoạn \( A B \). A. \( 35,61 \mathrm{~km} / \mathrm{h} \) B. \( 36,61 \mathrm{~km} / \mathrm{h} \) C. \( 34,61 \mathrm{~km} / \mathrm{h} \) D. \( 31 \mathrm{~km} / \mathrm{h} \)
(3,0 điểm) Cho tam giác $ABC$ có $AB=9 \mathrm{~cm}$, $AC=12 \mathrm{~cm}$. Lấy điểm $D$ thuộc $AB$, điểm $E$ thuộc $AC$ sao cho $AD = 3 \mathrm{~cm}$, $AE=4\mathrm{~cm}$.
a) Chứng minh: $\triangle ABC \backsim \triangle ADE$.
b) Chứng minh: $DE \parallel BC$.
c) Cho $BE$ là tia phân giác của góc $\widehat{ABC}$. Tính $BC$.
d) Tính $DE$.